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title: 方程法
description: 方程法-数量关系-上岸学堂
keywords: 方程法,数量关系,上岸学堂,行测,数量关系
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import BlurredAnswer from '@/components/ui/BlurredAnswer';



# 方程法

**几乎解决所有数量关系问题的通用方法 ！**

## 一、应用范围

方程法在行测数量关系题中应用广泛,主要包括以下类型:

- 和差倍比问题
- 鸡兔同笼问题
- 盈亏问题
- 工程问题
- 经济利润问题
- 行程问题


## 二、设未知数的原则

在使用方程法解题时,正确设置未知数是关键。以下是三个重要原则:

1. **优先设所求的量**: 在同等情况下,优先将题目所求的量设为未知数。这样可以直接得到答案,避免额外的计算步骤。

2. **优先设小不设大**: 选择较小的量作为未知数,可以简化计算过程,减少出错概率。

3. **设中间变量**: 当问题涉及分数、百分数或比例倍数时,可以考虑设置中间变量(如份数)作为未知数。这种方法often能简化复杂的关系。

> 举例: 在鸡兔同笼问题中,我们通常选择鸡的数量作为未知数,而不是兔子的数量,因为鸡的脚数较少,计算更简便。

## 三、重要公式

### 等比公式

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}$$

这个公式在解决比例相关问题时非常有用。它表明:
- 两个比值相等
- 它们的和的比值也等于原比值
- 它们的差的比值也等于原比值

> 应用场景: 这个公式在解决混合问题(如配比、浓度)和平均数问题时经常使用。

### 实际应用举例

例题:
"某商店售出甲、乙两种商品,售价比为3:4,售出数量比为5:3。问售出总金额中,甲商品占多少?"

解析:
1. 设甲商品单价为3x,则乙商品单价为4x
2. 甲商品数量为5y,乙商品数量为3y
3. 根据等比公式:

   $$\frac{\text{甲商品总价}}{\text{乙商品总价}} = \frac{3x \cdot 5y}{4x \cdot 3y} = \frac{5}{4}$$

4. 因此,甲商品占总金额的比例为:
   
   $$\frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$$

答案: 甲商品占总金额的$\frac{5}{9}$。

## 四、例题讲解
### 等比公式应用
**例1**：
有甲、乙两瓶盐水，其浓度分别为16%和25%；质量分别
为600克和240克，若向这两瓶溶液中加入等量的水，使他们的浓度相同，
则需要向这两瓶盐水中分别加入的水量为：

- A. 320克              
- B. 360克 
- C. 370克             
- D. 377克

<BlurredAnswer>
方法1：方程法

1. 设加入甲、乙两瓶盐水的水量都为x克。
2. 根据浓度计算公式：浓度 = 溶质质量 / 溶液质量
3. 列出方程：

   $$\frac{600 \times 16\%}{600 + x} = \frac{240 \times 25\%}{240 + x}$$

4. 化简得：

   $$\frac{96}{600 + x} = \frac{60}{240 + x}$$

5. 解方程，得到 x = 360

因此，答案为 B. 360克 <br/>

方法2：等比公式法

1. 使用等比公式：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}$
2. 代入数据：$\frac{96}{600+x} = \frac{60}{240+x}$
3. 根据等比公式，有：

   $$\frac{96}{600+x} = \frac{60}{240+x} = \frac{96+60}{600+x+240+x} = \frac{96-60}{600+x-(240+x)}$$

4. 化简得：

   $$\frac{8}{600+x} = \frac{5}{240+x} = \frac{13}{840+2x} = \frac{3}{360}$$

5. 解方程，得到 x = 360

因此，答案为 B. 360克
</BlurredAnswer>


### 占比问题

**结论**：若某人占其他人总和的 $\frac{1}{x}$，则该人占全部总人数的 $\frac{1}{x+1}$。

**推导过程**：
1. 设其他人总和为 $x$ 份
2. 则某人为 $1$ 份（因为占其他人总和的 $\frac{1}{x}$）
3. 所有人总和为 $x + 1$ 份
4. 某人占总量的比例为 $\frac{1}{x+1}$

**例题**：

公司销售部门共有甲、乙、丙、丁四个销售小组，本年
度甲组销售金额是该部门销售金额总数的 1/3，乙组销售金额是另外三个小
组总额的 1/4，丙组销售金额比丁组销售金额多 200 万元，比甲组少 200 
万元。问销售部门销售总金额是多少万元？

- A. 1800 
- B. 2400
- C. 3000 
- D. 3600

<BlurredAnswer>
我们需要计算销售部门的总销售金额 $ S $ 万元，基于以下信息：

1. **甲组销售金额**：
   $
   A = \frac{S}{3}
   $

2. **乙组销售金额**：
   乙组的销售金额是其他三个组（甲、丙、丁）的总和的 $ \frac{1}{4} $：
   $
   B = \frac{A + C + D}{4}
   $

3. **丙组和丁组的关系**：
   - 丙组比丁组多 200 万元：
     $
     C = D + 200
     $
   - 丙组比甲组少 200 万元：
     $
     C = A - 200
     $

**步骤 1：确定丁组的销售金额**

从丙组的两个关系式，我们可以得到：
$
D + 200 = A - 200 \\
D = A - 400
$

 **步骤 2：表示乙组的销售金额**

将 $ C $ 和 $ D $ 用 $ A $ 表示：
$
C = A - 200 \\
D = A - 400
$
因此：
$
B = \frac{A + (A - 200) + (A - 400)}{4} = \frac{3A - 600}{4}
$

**步骤 3：表示总销售金额**

总销售金额 $ S $ 包括四个小组的销售：
$
S = A + B + C + D \\
S = A + \frac{3A - 600}{4} + (A - 200) + (A - 400) \\
S = 3A - 600 + \frac{3A - 600}{4}
$

将 $ A = \frac{S}{3} $ 代入：
$
S = 3 \left( \frac{S}{3} \right) - 600 + \frac{3 \left( \frac{S}{3} \right) - 600}{4} \\
S = S - 600 + \frac{S - 600}{4}
$

**步骤 4：解方程**

将方程整理：
$
S = S - 600 + \frac{S - 600}{4} \\
0 = -600 + \frac{S - 600}{4} \\
600 = \frac{S - 600}{4} \\
2400 = S - 600 \\
S = 3000
$

**结论**

销售部门的总销售金额是 **3000 万元**。

**正确答案：C. 3000**

</BlurredAnswer>

### 多个未知数问题
**多个未知对象，设相同值为未知数 $x$ **

**例**：
姐弟四人要为妈妈买生日礼物，四个人的钱合在一起是 
180 元，如果老大钱数增加 8 元，老二钱数减少 8 元，老三钱数乘以 2 
倍，老四钱数减少到原来的一半，则此时四个人的钱数相同。若其中两人的
钱数凑在一起正好买一个价格为 68 元的音乐盒，则这两个人是：  

- A.老二和老三              
- C.老大和老二              
- B.老大和老三  
- D.老二和老四 


<BlurredAnswer>

解析：
方法 1：方程法
逆向思维，设四人**相同的钱数**为 $ x $ 元，则这四人原有钱数分别为：
$
x - 8, \quad x + 8, \quad \frac{x}{2}, \quad 2x
$
四人原来钱数之和为 180 元，可得方程：
$
x + 8 + x - 8 + \frac{x}{2} + 2x = 180
$
解得：
$
x = 40
$
则四人原有钱数分别为 32、48、20、80 元，恰好凑成 68 元的是 48 元和 20 元，即老二和老三。 **A**

方法 2：代入排除法
四人钱合在一起是 180 元，设四人分别有 $ a $、$ b $、$ c $、$ d $ 元，可得：
$
\begin{cases}
a + b + c + d = 180 \\
b = a + 16 \\
d = 4c
\end{cases}
$
其中两人的钱数凑在一起正好买价格为 68 元的音乐盒，代入 $ A $：$ b + c = 68 $，根据上式化简，得到：
$
2b - 16 + 5c = 180
$
解得 $ b = 48 $，$ c = 20 $，满足 **A**.


</BlurredAnswer>

